하이네-보렐 정리

일반위상수학에서 하이네-보렐 정리(영어: Heine–Borel theorem)는 균등 공간이 콤팩트 공간일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

정의

하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 콤팩트 공간이다.
• 완비 균등 공간이며, 완전 유계 공간이다.

증명:

콤팩트 균등 공간 $(X,{\mathcal {E}})$ 위의 코시 필터는 집적점을 가지며, 따라서 이 집적점으로 수렴한다. 즉, 모든 콤팩트 균등 공간은 완비 균등 공간이다. 이제, $X$가 완전 유계 공간임을 보이자. 임의의 측근 $E\in {\mathcal {E}}$에 대하여, $E$-작은 집합들로 구성된 $X$의 유한 덮개를 찾으면 족하다. 다음 조건들을 만족시키는 측근 $F\in {\mathcal {E}}$가 존재한다.

• $F\circ F\subseteq E$
• $F$는 대칭 관계이다.
• $F\subseteq X\times X$는 열린집합이다.

이제

$F[x,-]=\{y\colon (x,y)\in F\}$

라고 하자. 그렇다면, $\{F[x,-]\colon x\in X\}$는 유한 부분 덮개 $\{F[x_{1},-],\dots ,F[x_{n},-]\}$를 갖는다. 또한, 모든 $F[x_{i},-]$는 $E$-작은 집합이다.

반대로, 균등 공간 $(X,{\mathcal {E}})$가 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이라면, 콤팩트 공간임을 보이자. 임의의 $X$ 위의 극대 필터 ${\mathcal {F}}$가 수렴함을 보이면 족하다. $X$가 완비 균등 공간이므로, ${\mathcal {F}}$가 코시 필터임을 보이면 족하다. 임의의 측근 $E\in {\mathcal {E}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 완전 유계성에 따라 $E$-작은 집합들로 구성된 $X$의 유한 덮개 $\{A_{1},\dots ,A_{n}\}$이 존재한다. ${\mathcal {F}}$는 극대 필터이므로, $A_{i}\in {\mathcal {F}}$인 $i\in \{1,\dots ,n\}$이 존재한다.

특히, $X$가 유클리드 공간의 부분 집합이라고 하자. 그렇다면, $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완전 유계 공간이다.
• 유계 집합이다.

마찬가지로, $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완비 균등 공간이다.
• 닫힌집합이다.

따라서, $X$의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 콤팩트 공간이다.
• 유계 집합이며 닫힌집합이다.

예

$\mathbb {R}$ 위의 이산 거리 공간을 생각하자. 그 속의 부분 집합 $[0,1]$은 유계 닫힌집합이며 완비 거리 공간이지만 완전 유계 공간이 아니며, 따라서 콤팩트 집합이 아니다.

역사

에두아르트 하이네와 에밀 보렐의 이름을 땄다.

같이 보기

• 볼차노-바이어슈트라스 정리

각주

• Andre, Nicole R.; Engdahl, Susannah M.; Parker, Adam E. (2013년 8월). “An analysis of the first proofs of the Heine–Borel theorem”. 《Convergence》 (영어). doi:10.4169/loci003890. 2016년 6월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함. 
• Dugac, P. (1989). “Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet-Heine-Weierstrass-Borel-Schoenflies-Lebesgue”. 《Archives Internationales d’Histoire des Sciences》 (프랑스어) 39 (122): 69-110. ISSN 0003-9810. 
• Raman-Sundström, Manya (2014). “A pedagogical history of compactness” (영어). arXiv:1006.4131. Bibcode:2010arXiv1006.4131R.